матрицы и операции

Перед любой операцией сначала проверяют размеры. Сложение идёт по одинаковым позициям, а каждый элемент произведения получается из строки первой матрицы и столбца второй.

размер и специальные матрицы

Матрица $A=(a_{ij})$ размера $m\times n$ содержит $m$ строк и $n$ столбцов. Индекс $i$ указывает строку, $j$ — столбец.

равенство матриц

Матрицы равны, только если у них одинаковый размер и равны элементы в каждой соответствующей позиции.

сложение, число и транспонирование

Складывать можно лишь матрицы одного размера. При умножении на число меняется каждый элемент. Транспонирование меняет строки и столбцы местами, поэтому размер $m\times n$ превращается в $n\times m$.

$$(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij},\qquad (\lambda A)_{ij}=\lambda a_{ij},\qquad (A^{T})_{ij}=a_{ji}$$

• $A+B=B+A$

• $(A+B)+C=A+(B+C)$

• $(A+B)^T=A^T+B^T$

• $(AB)^T=B^TA^T$

умножение матриц

Произведение $AB$ определено, когда число столбцов $A$ равно числу строк $B$. Если $A$ имеет размер $m\times n$, а $B$ — $n\times p$, то $AB$ имеет размер $m\times p$.

Умножение ассоциативно и дистрибутивно, но обычно $AB\ne BA$. Иногда одно из этих произведений вообще не определено.

$$c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$$

Элемент $c_{ij}$ — скалярное произведение строки $i$ и столбца $j$

полный расчёт $2\times2$

условие: Найти $AB$, если $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ и $B=\begin{pmatrix}2&0\\-1&5\end{pmatrix}$.

ход решения

1. $c_{11}=1\cdot2+2\cdot(-1)=0$

2. $c_{12}=1\cdot0+2\cdot5=10$

3. $c_{21}=3\cdot2+4\cdot(-1)=2$

4. $c_{22}=3\cdot0+4\cdot5=20$

ответ: $AB=\begin{pmatrix}0&10\\2&20\end{pmatrix}$

проверка: Размер результата $2\times2$; вычисление $BA=\begin{pmatrix}2&4\\14&18\end{pmatrix}$ подтверждает, что порядок множителей важен.

что запомнить

• Размер матрицы записывают как число строк × число столбцов.

• Сложение требует одинаковых размеров.

• Для $AB$ внутренние размеры должны совпасть: $(m\times n)(n\times p)$.

• В общем случае $AB\ne BA$, а при транспонировании произведения порядок меняется.

самопроверка

• Какой размер имеет произведение матриц $3\times2$ и $2\times5$?

• Почему нельзя сложить матрицы $2\times3$ и $3\times2$?

• Как вычисляется элемент $c_{23}$ произведения $AB$?

• Почему формула $(AB)^T=B^TA^T$ меняет порядок множителей?

источники

• материал занятия: Матрицы и операции — исходный конспект — /materials/lectures/calculus-02.pdf

• редакционная сверка: MIT OpenCourseWare: Multiplication and Inverse Matrices — https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/pages/ax-b-and-the-four-subspaces/multiplication-and-inverse-matrices/