ранг и системы уравнений

Ранг связывает независимость строк с числом ограничений в системе, а формулы Крамера дают единственное решение квадратной системы только при ненулевом определителе.

от миноров к рангу

В исходном PDF сначала уточняется язык миноров. Минор порядка $k$ строится выбором $k$ строк и $k$ столбцов; их число в матрице $m\times n$ равно $\binom mk\binom nk$. Базисным называют любой ненулевой минор максимального порядка.

$$N_k=\binom{m}{k}\binom{n}{k}$$

минор из исходного PDF

условие: Найти минор второго порядка для подматрицы $\begin{pmatrix}3&2\\2&3\end{pmatrix}$.

ход решения

1. Умножаем элементы главной диагонали: $3\cdot3=9$

2. Умножаем элементы побочной диагонали: $2\cdot2=4$

3. Вычитаем второе произведение из первого: $9-4$

ответ: $M=5$

проверка: Результат ненулевой, значит ранг исходной матрицы не меньше 2.

сколько миноров бывает

В матрице $4\times5$ миноров второго порядка $\binom42\binom52=6\cdot10=60$. Этот подсчёт тоже приведён в исходном PDF.

что ранг говорит о системе

Система записывается как $AX=B$: $A$ хранит коэффициенты, $X$ — неизвестные, $B$ — свободные члены. Совместная система имеет хотя бы одно решение; определённая — ровно одно, неопределённая — бесконечно много.

почему здесь появляется ранг

Число ведущих строк после преобразований показывает число независимых условий. Если независимых условий меньше числа неизвестных, появляются свободные переменные; точный критерий через два ранга формулирует теорема Кронекера—Капелли.

квадратная система и формулы Крамера

Финальная часть PDF переходит к квадратной системе и условию $\Delta=\det A\ne0$. Сам файл формулирует правило, но не содержит полного числового расчёта; следующий пример добавлен редакцией, чтобы показать все шаги и проверку.

$$x_i=\frac{\Delta_i}{\Delta},\qquad i=1,\ldots,n$$

редакционный учебный пример по формулам Крамера

условие: Решить систему $2x_1+3x_2+x_3=14$, $3x_1-x_2+2x_3=5$, $x_1+2x_2-x_3=7$.

ход решения

1. $\Delta=\begin{vmatrix}2&3&1\\3&-1&2\\1&2&-1\end{vmatrix}=16$

2. $\Delta_1=32$, $\Delta_2=48$, $\Delta_3=16$ после замены соответствующих столбцов

3. $x_1=32/16=2$, $x_2=48/16=3$, $x_3=16/16=1$

ответ: $(x_1,x_2,x_3)=(2,3,1)$

проверка: $2\cdot2+3\cdot3+1=14$; $3\cdot2-3+2=5$; $2+2\cdot3-1=7$.

граница метода

Формулы Крамера в таком виде применяются к квадратной системе при $\det A\ne0$. При нулевом определителе нельзя делить на $\Delta$; число решений исследуют рангами и методом Гаусса.

что запомнить

• Базисный минор — ненулевой минор порядка, равного рангу.

• Система $AX=B$ объединяет коэффициенты, неизвестные и свободные члены.

• Однородная система всегда имеет нулевое решение.

• Крамер даёт $x_i=\Delta_i/\Delta$ только при $\Delta\ne0$.

самопроверка

• Сколько миноров третьего порядка есть в матрице $3\times4$?

• Чем определённая система отличается от совместной вообще?

• Как построить $\Delta_2$ в формулах Крамера?

• Что нужно делать, если $\det A=0$?

источники

• материал занятия: Ранг и системы — конспект занятия — /materials/lectures/rank-and-systems.pdf

• редакционная сверка: MIT OpenCourseWare: Solving Ax = b: Row Reduced Form R — https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/pages/ax-b-and-the-four-subspaces/solving-ax-b-row-reduced-form-r/

• редакционная сверка: MIT OpenCourseWare: Determinant Formulas and Cofactors — https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/pages/least-squares-determinants-and-eigenvalues/determinant-formulas-and-cofactors/