множества и операции над ними

$\in$ связывает элемент и множество, $\subseteq$ — два множества; операции удобно проверять по одному элементу.

элемент или подмножество

$x\in A$ означает, что $x$ — элемент $A$. $B\subseteq A$ означает, что каждый элемент $B$ принадлежит $A$. Это разные типы связи.

$\varnothing$ не имеет элементов, но $\{\varnothing\}$ содержит один элемент. Поэтому $|\varnothing|=0$, а $|\{\varnothing\}|=1$.

булеан и мощность

Булеан $\mathcal P(A)$ содержит все подмножества $A$, включая $\varnothing$ и $A$. Каждый из $n$ элементов можно взять или не взять, поэтому вариантов $2^n$.

$$|\mathcal P(A)|=2^{|A|}$$

булеан двухэлементного множества

условие: Найти $\mathcal P(\{a,b\})$.

ход решения

1. Берём пустое подмножество

2. Добавляем $\{a\}$ и $\{b\}$

3. Добавляем всё $\{a,b\}$

ответ: $\mathcal P(\{a,b\})=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$.

проверка: $2^2=4$ подмножества.

операции и диаграмма венна

Для $A,B\subseteq U$: $A\cup B$ содержит элементы из $A$ или $B$; $A\cap B$ — из обоих; $A\setminus B$ — из $A$, но не из $B$; $\overline A=U\setminus A$.

четыре операции

условие: $U=\{1,2,3,4,5\}$, $A=\{1,2,3\}$, $B=\{3,4\}$.

ход решения

1. $A\cap B=\{3\}$

2. $A\cup B=\{1,2,3,4\}$

3. $A\setminus B=\{1,2\}$

4. $\overline A=\{4,5\}$

ответ: Пересечение $\{3\}$, объединение $\{1,2,3,4\}$, разность $\{1,2\}$, дополнение $\{4,5\}$.

проверка: $A\cup\overline A=U$ и $A\cap\overline A=\varnothing$.

что запомнить

• $x\in A$ — про элемент; $B\subseteq A$ — про множество.

• $\varnothing$ и $\{\varnothing\}$ имеют мощности $0$ и $1$.

• Если $|A|=n$, то $|\mathcal P(A)|=2^n$.

• Дополнение считается относительно $U$.

самопроверка

• Чем отличаются $2\in A$ и $\{2\}\subseteq A$?

• Почему $\varnothing\subseteq A$?

• Сколько подмножеств у множества из четырёх элементов?

• Какая область диаграммы описывает $A\setminus B$?

источники

• материал занятия: краткий конспект «множества и операции» — /materials/lectures/discrete-math-02.pdf

• материал занятия: фотографии конспекта, страницы 79–83 — /materials/notes/discrete_math/photo_79@20-09-2026_10-16-52.jpg

• редакционная сверка: Discrete Mathematics: An Open Introduction — Sets — https://discrete.openmathbooks.org/dmoi2/sec_intro-sets.html