векторы и линейная зависимость

Вектор задаёт направление и длину, а его координаты позволяют считать. Линейная зависимость означает, что хотя бы один вектор можно получить из остальных линейной комбинацией.

вектор: стрелка и набор координат

Геометрически вектор — направленный отрезок: его можно перенести параллельно самому себе, не меняя длину и направление. В координатах $\mathbb{R}^n$ это упорядоченный набор чисел $\mathbf a=(a_1,\ldots,a_n)$.

Складываем векторы и умножаем их на число покоординатно. В геометрической картине сложение соответствует правилу треугольника, а умножение на отрицательное число ещё и меняет направление.

$$\mathbf a+\mathbf b=(a_1+b_1,\ldots,a_n+b_n),\qquad \lambda\mathbf a=(\lambda a_1,\ldots,\lambda a_n)$$

Координатная запись двух основных операций

линейная комбинация

Выражение $\lambda_1\mathbf a_1+\cdots+\lambda_k\mathbf a_k$ называется линейной комбинацией. Коэффициенты показывают, сколько раз берётся каждый вектор; они могут быть положительными, отрицательными или нулевыми.

собираем вектор по координатам

условие: Даны $\mathbf a_1=(1,2,0)$, $\mathbf a_2=(2,1,1)$, $\mathbf a_3=(-1,1,2)$. Найдите $2\mathbf a_1+3\mathbf a_2+4\mathbf a_3$.

ход решения

1. $2\mathbf a_1=(2,4,0)$

2. $3\mathbf a_2=(6,3,3)$

3. $4\mathbf a_3=(-4,4,8)$

4. Складываем координаты: $(2+6-4,\,4+3+4,\,0+3+8)$

ответ: $(4,11,11)$

проверка: Первая координата: $2\cdot1+3\cdot2+4\cdot(-1)=4$; остальные проверяются так же.

коллинеарность и линейная зависимость

Система зависима, если нулевой вектор получается при коэффициентах, среди которых есть ненулевой. Если это возможно только при всех $\lambda_i=0$, система независима.

Для двух ненулевых векторов зависимость равносильна коллинеарности: $\mathbf b=\lambda\mathbf a$. В $\mathbb R^2$ это одна прямая, в $\mathbb R^3$ — одно направление в пространстве.

критерий зависимости

Векторы $\mathbf a_1,\ldots,\mathbf a_k$ линейно зависимы, если уравнение $\lambda_1\mathbf a_1+\cdots+\lambda_k\mathbf a_k=\mathbf0$ имеет нетривиальное решение.

быстрая проверка пары

условие: Проверить $\mathbf a=(-1,2,5)$ и $\mathbf b=(-3,6,15)$.

ход решения

1. Сравниваем координаты: $-3/(-1)=6/2=15/5=3$

2. Значит, $\mathbf b=3\mathbf a$

3. Получаем ненулевую комбинацию $3\mathbf a-\mathbf b=\mathbf0$

ответ: Векторы коллинеарны и линейно зависимы.

проверка: $3(-1,2,5)-(-3,6,15)=(0,0,0)$.

типичная ошибка

Одного совпавшего отношения координат недостаточно. Проверить нужно все координаты; отдельно учитывайте нули, чтобы не делить на ноль.

что запомнить

• Координаты вектора образуют упорядоченный набор, поэтому их нельзя переставлять.

• Линейная комбинация — сумма векторов с числовыми коэффициентами.

• Два ненулевых вектора зависимы тогда и только тогда, когда один пропорционален другому.

• Для независимой системы нулевая комбинация возможна только при всех нулевых коэффициентах.

самопроверка

• Как геометрически построить сумму двух векторов?

• Почему векторы $(2,4)$ и $(-1,-2)$ линейно зависимы?

• Как доказать независимость системы через уравнение с коэффициентами?

• Может ли система, содержащая нулевой вектор, быть независимой? Почему?

источники

• материал занятия: фотографии студенческого конспекта, страницы 117–120 — /materials/notes/engineering_graphics/photo_117@20-09-2026_10-34-21.jpg

• редакционная сверка: MIT OpenCourseWare: Independence, Basis and Dimension — https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/pages/ax-b-and-the-four-subspaces/independence-basis-and-dimension/