ранг матрицы и системы уравнений

Ранг измеряет число независимых строк или столбцов. Для небольшой матрицы его можно подтвердить минорами, а для вычислений удобнее привести матрицу к ступенчатому виду.

ранг через миноры

Ранг $\operatorname{rk}A$ — максимальный порядок ненулевого минора. Поэтому доказательство $\operatorname{rk}A=r$ состоит из двух частей: предъявить ненулевой минор порядка $r$ и объяснить, почему миноров большего порядка нет или все они нулевые.

$$0\leq\operatorname{rk}A\leq\min(m,n)$$

оценка ранга по минору

условие: Для $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\0&1&1\end{pmatrix}$ определить ранг.

ход решения

1. Определитель всей матрицы равен 0, потому что вторая строка равна удвоенной первой; значит, ранг меньше 3

2. Берём минор первых и третьих строк, первых двух столбцов: $\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}=1$

3. Есть ненулевой минор порядка 2, поэтому ранг не меньше 2

ответ: $\operatorname{rk}A=2$

проверка: Одновременно получены верхняя оценка $<3$ и нижняя оценка $\geq2$.

элементарные преобразования и ступенчатый вид

Ранг не меняют: перестановка строк, умножение строки на ненулевое число, прибавление к строке другой строки с коэффициентом. Эти операции последовательно создают нули под ведущими элементами.

ступенчатая матрица

Нулевые строки стоят снизу, а ведущий элемент каждой следующей ненулевой строки расположен правее ведущего элемента предыдущей.

полный пример приведения

Преобразования строк особенно удобны для прямоугольных матриц: не приходится перебирать множество миноров.

ранг по числу ступеней

условие: Найти ранг $B=\begin{pmatrix}1&2&1\\2&5&4\\3&7&5\end{pmatrix}$.

ход решения

1. $R_2\leftarrow R_2-2R_1$, $R_3\leftarrow R_3-3R_1$: $\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&2\\0&1&2\end{pmatrix}$

2. $R_3\leftarrow R_3-R_2$: $\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&2\\0&0&0\end{pmatrix}$

3. В ступенчатом виде две ненулевые строки

ответ: $\operatorname{rk}B=2$

проверка: Минор $\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}=1$ подтверждает наличие двух независимых строк.

связь с системами

Те же преобразования применяют к расширенной матрице $[A\mid b]$. Сравнение рангов $A$ и $[A\mid b]$ определяет совместность системы; подробно это разобрано в теме о методе Гаусса.

что запомнить

• Ранг — максимальный порядок ненулевого минора.

• Ранг также равен числу ненулевых строк ступенчатого вида.

• Три элементарных преобразования строк сохраняют ранг.

• Для доказательства ранга минорами нужны верхняя и нижняя оценки.

самопроверка

• Почему одной находки ненулевого минора порядка 2 недостаточно, чтобы сразу утверждать ранг 2?

• Какие преобразования строк сохраняют ранг?

• Как узнать ранг ступенчатой матрицы?

• Почему пропорциональные строки уменьшают ранг?

источники

• материал занятия: фотографии студенческого конспекта, страницы 129–132 — /materials/notes/engineering_graphics/photo_129@20-09-2026_10-34-37.jpg

• редакционная сверка: MIT OpenCourseWare: Elimination with Matrices — https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/pages/ax-b-and-the-four-subspaces/elimination-with-matrices/