метод Гаусса и критерий совместности

Метод Гаусса не угадывает ответ: он сохраняющими решения преобразованиями приводит систему к виду, где видны противоречия, свободные переменные и обратная подстановка. Теорема Кронекера—Капелли формулирует тот же диагноз через ранги.

расширенная матрица и допустимые шаги

Столбец свободных членов приписывают к матрице коэффициентов: получается $[A\mid B]$. Каждое преобразование строки выполняется сразу со всеми её элементами, включая элемент после черты.

• поменять две строки местами

• умножить строку на ненулевое число

• прибавить к строке другую строку, умноженную на число

нельзя преобразовывать только левую часть

Если изменить коэффициенты и не изменить свободный член той же строки, получится другая система.

прямой и обратный ход

Прямой ход создаёт ступенчатую матрицу: под каждым ведущим элементом появляются нули. Затем проверяют строки на противоречие. При единственном решении обратный ход начинается с последнего уравнения; при свободных переменных им назначают параметры.

$$\left[\begin{array}{ccc|c}a_{11}&\cdots&a_{1n}&b_1\\\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{m1}&\cdots&a_{mn}&b_m\end{array}\right]\longrightarrow\text{ступенчатый вид}$$

теорема Кронекера—Капелли и три исхода

Основная матрица $A$ не содержит свободных членов, расширенная $[A\mid B]$ содержит. Система совместна тогда и только тогда, когда их ранги равны.

критерий совместности

Система $AX=B$ совместна тогда и только тогда, когда $\operatorname{rk}A=\operatorname{rk}[A\mid B]$.

пример с единственным решением

Здесь три ведущих элемента для трёх неизвестных, поэтому после прямого хода выполняется обычная обратная подстановка.

прямой и обратный ход

условие: Решить $x+y+z=6$, $2x-y+z=3$, $x+2y-z=2$.

ход решения

1. $\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&-1&1&3\\1&2&-1&2\end{array}\right]$

2. $R_2\leftarrow R_2-2R_1$, $R_3\leftarrow R_3-R_1$: $\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&-3&-1&-9\\0&1&-2&-4\end{array}\right]$

3. Меняем $R_2$ и $R_3$, затем $R_3\leftarrow R_3+3R_2$: $\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-2&-4\\0&0&-7&-21\end{array}\right]$

4. Обратный ход: $z=3$, затем $y-2z=-4\Rightarrow y=2$, затем $x+y+z=6\Rightarrow x=1$

ответ: $(x,y,z)=(1,2,3)$

проверка: $1+2+3=6$; $2-2+3=3$; $1+4-3=2$.

пример с бесконечным множеством решений

Нулевая строка не является противоречием, если справа тоже ноль. Она означает, что одно уравнение зависело от остальных.

свободная переменная

условие: Решить $x+y+z=2$, $2x+2y+2z=4$, $x-y+z=0$.

ход решения

1. $R_2\leftarrow R_2-2R_1$ даёт нулевую строку

2. $R_3\leftarrow R_3-R_1$ даёт $[0,-2,0\mid-2]$, то есть $y=1$

3. Переменная $z$ свободна: положим $z=t$

4. Из первого уравнения $x=2-y-z=1-t$

ответ: $(x,y,z)=(1-t,1,t)$ при любом $t\in\mathbb R$

проверка: В первой строке $(1-t)+1+t=2$; во второй сумма удваивается до 4; в третьей $(1-t)-1+t=0$.

как выглядит несовместность

Например, строки $x+y=1$ и $2x+2y=3$ после $R_2\leftarrow R_2-2R_1$ дают $[0\ 0\mid1]$, то есть ложное равенство $0=1$. Тогда $\operatorname{rk}[A\mid B]>\operatorname{rk}A$.

что запомнить

• Все операции строки выполняются и со свободным членом после черты.

• Прямой ход создаёт ступенчатый вид, обратный ход находит ведущие переменные.

• Строка $[0\ \cdots\ 0\mid c]$ при $c\ne0$ означает отсутствие решений.

• Равные ранги дают совместность; число ведущих переменных определяет одно или бесконечно много решений.

• Любой найденный ответ нужно проверить в исходной системе.

самопроверка

• Какие три преобразования строк сохраняют множество решений?

• Чем прямая часть метода Гаусса отличается от обратной?

• Как по ступенчатой матрице увидеть несовместность?

• Почему при ранге меньше числа неизвестных появляются параметры?

• Как проверить параметрическое решение без перебора всех значений параметра?

источники

• материал занятия: фотографии студенческого конспекта, страницы 133–140 — /materials/notes/engineering_graphics/photo_133@20-09-2026_10-34-37.jpg

• редакционная сверка: MIT OpenCourseWare: Elimination with Matrices — https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/pages/ax-b-and-the-four-subspaces/elimination-with-matrices/

• редакционная сверка: MIT OpenCourseWare: Solving Ax = b: Row Reduced Form R — https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/pages/ax-b-and-the-four-subspaces/solving-ax-b-row-reduced-form-r/