определители и обратная матрица

Определитель отвечает на вопрос об обратимости: квадратная матрица имеет обратную ровно при $\det A\ne0$. Миноры и знаки дополнений дают единый алгоритм вычисления определителя и обратной матрицы.

определители второго и третьего порядка

Определитель определён только для квадратной матрицы. Для порядка 2 это разность произведений диагоналей. Для порядка 3 можно применить правило Саррюса или разложение по строке либо столбцу.

$$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$$

определитель третьего порядка

условие: Вычислить $\det A$ для $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\3&-1&2\\0&4&1\end{pmatrix}$ разложением по первой строке.

ход решения

1. $\det A=1\cdot\begin{vmatrix}-1&2\\4&1\end{vmatrix}-2\cdot\begin{vmatrix}3&2\\0&1\end{vmatrix}+0$

2. Первый минор: $(-1)\cdot1-2\cdot4=-9$

3. Второй минор: $3\cdot1-2\cdot0=3$

4. $\det A=-9-2\cdot3=-15$

ответ: $\det A=-15$

проверка: Ненулевой определитель означает, что эта матрица обратима.

минор и алгебраическое дополнение

Минор $M_{ij}$ получают удалением строки $i$ и столбца $j$. Алгебраическое дополнение учитывает шахматный знак: $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$.

разложение Лапласа

По любой фиксированной строке $i$: $\det A=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$. Аналогично можно раскладывать по столбцу.

как получить обратную матрицу

Алгоритм через дополнения: найти $\det A$, составить матрицу дополнений, транспонировать её и разделить на определитель. Если $\det A=0$, деление невозможно и обратной матрицы нет.

$$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}A,\qquad \operatorname{adj}A=(A_{ij})^T$$

обратная матрица с полной проверкой

условие: Найти $A^{-1}$ для $A=\begin{pmatrix}1&-1\\0&2\end{pmatrix}$.

ход решения

1. $\det A=1\cdot2-(-1)\cdot0=2\ne0$

2. Для $2\times2$: $\operatorname{adj}A=\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}$

3. $A^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1/2\\0&1/2\end{pmatrix}$

4. $AA^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1/2\\0&1/2\end{pmatrix}$

ответ: $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1/2\\0&1/2\end{pmatrix}$

проверка: $AA^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=E$; аналогично $A^{-1}A=E$.

типичная ошибка

Матрицу алгебраических дополнений нужно транспонировать. Без этого шага произведение с исходной матрицей обычно не даст $E$.

что запомнить

• Для $2\times2$ определитель равен $ad-bc$.

• Знак дополнения задаёт множитель $(-1)^{i+j}$.

• Разложение Лапласа можно делать по любой строке или столбцу.

• Обратная матрица существует ровно при $\det A\ne0$.

• Надёжная проверка ответа — умножение $AA^{-1}=E$.

самопроверка

• Чем минор отличается от алгебраического дополнения?

• Почему при $\det A=0$ обратной матрицы нет?

• Как выбрать удобную строку для разложения определителя?

• Как проверить найденную обратную матрицу?

источники

• материал занятия: фотографии студенческого конспекта, страницы 125–128 — /materials/notes/engineering_graphics/photo_125@20-09-2026_10-34-22.jpg

• редакционная сверка: MIT OpenCourseWare: Determinant Formulas and Cofactors — https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/pages/least-squares-determinants-and-eigenvalues/determinant-formulas-and-cofactors/

• редакционная сверка: MIT OpenCourseWare: Multiplication and Inverse Matrices — https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/pages/ax-b-and-the-four-subspaces/multiplication-and-inverse-matrices/